Corso tenuto insieme a Marco Paolo Bernardi. Parte delle esercitazioni saranno tenute da Elisa Tenni.
Secondo anno della Laurea Triennale in Matematica, a.a. 09/10, primo semestre, 84 ore, 9 crediti.
Orario: lunedi' 14-15, martedi' 10-12, mercoledi' 11-13, giovedi' 9-11; aula C8. Inizio delle lezioni: giovedi' 1/10.
Ricevimento studenti: su appuntamento.
Programma
APPELLI D'ESAME
(Chi dovesse sostenere l'esame di Curve e Superfici e' pregato di farmelo sapere una decina di giorni prima dello scritto.)
Primo appello: scritto 25/1 ore 14 aula C8. Testo del compito. L'area di una calotta sferica. Orali: 28/1 ore 9.30 aula C8.
Secondo appello: scritto 22/2 ore 14 aula C8. Testo del compito. Orali: 25/2 ore 9.30 aula C8.
Terzo appello: scritto 11/6 ore 14 aula C8. Testo del compito. Orali: 16/6 ore 9.30 aula C8.
Quarto appello: scritto 12/7 ore 14 aula C8. Testo del compito. Orali: 20/7 ore 9.30 aula C8.
Quinto appello: scritto 16/9 ore 14 aula C8. Testo del compito. Orali: 20/9 ore 9.30 aula C8.
Si ricorda che l'ammissione all'orale e' valida fino all'appello di settembre, ultimo appello dell'anno accademico 09/10.
Registro delle lezioni
1/10/2009, 9-11
Richiami su prodotto scalare e prodotto vettoriale in R^3. Definizione di curva, vettore tangente, curva regolare e versore tangente. Esempi: retta, circonferenza, elica circolare. Cambiamenti di parametro. Lunghezza di una curva, curve rettificabili. Una curva di classe C^1 e' rettificabile. Curve parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco.
7/10/2009, 11-13
Esistenza e unicita' della riparametrizzazione di una curva regolare rispetto alla lunghezza d'arco. Curvatura, curve biregolari. Curve in R^3: sistema di riferimento di Frenet, torsione, formule di Frenet. Il sostegno di una curva biregolare e' contenuto in un piano se e soltanto se il versore binormale e' costante. Teorema su esistenza e unicita' a meno di rototraslazioni di una curva con date curvatura e torsione, enunciato.
8/10/2009, 9-11
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.
13/10/2009, 10-12
Dimostrazione del teorema di esistenza e unicita'. Applicazioni: curve con curvatura e torsione costanti. Curve in R^2, versore normale e curvatura orientata, formule di Frenet. Comportamento locale di una curva piana rispetto alla retta tangente, circonferenza osculatrice. Comportamento locale di una curva in R^3 rispetto al piano osculatore.
15/10/2009, 9-11
Curve non p.r.l.a.: formule per curvatura, torsione, e sistema di riferimento di Frenet. Esercizi su curve. La trattrice.
20/10/2009, 10-12
Superfici regolari in R^3, parametrizzazioni locali e atlanti. Esempi: piano, sfera, grafici di funzioni. Richiami sul teorema della funzione implicita; teorema della funzione inversa. Punti critici, valori critici e valori regolari di una funzione su un aperto di R^3. Superfici di livello.
22/10/2009, 9-11
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.
27/10/2009, 10-12
Ogni superficie e' localmente un grafico. Un'applicazione differenziabile, iniettiva e a differenziale iniettivo, a valori in una superficie regolare, e' una parametrizzazione locale. Cenni su 1-sottovarieta' e esistenza di una parametrizzazione globale. Superfici di rotazione.
29/10/2009, 9-11
Ancora superfici di rotazione: cilindro, cono, toro. Superfici di rotazione che intersecano l'asse di rotazione. Quadriche in R^3, enunciato della classificazione a meno di congruenze. La proiezione stereografica della sfera.
3/11/2009, 10-12
Il cambiamento di coordinate e' un diffeomorfismo. Funzioni differenziabili su superfici regolari, applicazioni differenziabili tra superfici regolari. Superfici diffeomorfe. Piano tangente a una superficie in un punto; il piano tangente e' l'immagine del differenziale di una parametrizzazione locale. Base indotta dalla parametrizzazione locale; cambiamento di base nel caso di due parametrizzazioni. Piano tangente a una superficie di livello.
5/11/2009, 9-11
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.
10/11/2009, 10-12
Differenziale di un'applicazione differenziabile tra superfici regolari; relazione con la matrice jacobiana dell'espressione in coordinate locali. Prima forma fondamentale. Lunghezza di una curva sulla superficie. Angoli tra vettori tangenti e tra curve sulla superficie, parametrizzazioni ortogonali. Poligoni curvilinei e regioni regolari. Integrale di una funzione continua su una regione regolare contenuta nell'immagine di una parametrizzazione locale; area.
11/11/2009, 11-13
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.
17/11/2009, 10-12
Isometrie in un punto, isometrie locali, isometrie. Similitudini. Superfici orientabili. Una superficie e' orientabile se e solo se ammette un campo di versori normali. I grafici di funzione e le superfici di livello sono orientabili.
19/11/2009, 9-11
Il nastro di Moebius in R^3: costruzione di un atlante e dimostrazione della non orientabilita'. L'orientabilita' e' invariante per diffeomorfismi. Le superfici di rotazione sono orientabili.
24/11/2009, 10-12
Sezione normale e curvatura normale di una superficie (orientata) in un punto lungo un versore tangente. Il differenziale della mappa di Gauss e' un endomorfismo simmetrico del piano tangente. Seconda forma fondamentale. Esempi: piano, sfera, cilindro. La seconda forma fondamentale valutata su un versore coincide con la curvatura normale. Curvatura normale di una curva p.r.l.a. sulla superficie. Direzioni principali e curvature principali.
26/11/2009, 9-11
Le curvature principali sono il minimo e il massimo delle curvature normali nel punto. Curvatura gaussiana e media, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Punti ombelicali. Direzioni asintotiche. Legame tra natura dei punti, comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente, e segnatura della seconda forma fondamentale. Dipendenza o meno dall'orientazione delle nozioni introdotte. Espressione in coordinate locali della seconda forma fondamentale e del differenziale della mappa di Gauss.
30/11/2009, 14-15
Seconda forma fondamentale e natura dei punti per le superfici di rotazione.
1/12/2009, 10-12
Simboli di Christoffel. Teorema Egregium di Gauss. Le isometrie locali rispettano la curvatura gaussiana. Equazione di Gauss e equazioni di Codazzi-Mainardi. Teorema di Bonnet (solo enunciato).
2/12/2009, 11-13
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.
3/12/2009, 9-11
Campi vettoriali tangenti lungo una curva, derivata covariante. Campi vettoriali paralleli, esistenza e unicita' assegnato il valore in un punto. Geodetiche. Equazioni differenziali delle geodetiche, esistenza e unicita' locale della geodetica per un punto con vettore tangente assegnato (senza dimostrazione). Le isometrie locali e le similitudini preservano la derivata covariante, i campi vettoriali paralleli e le geodetiche.
10/12/2009, 9-11
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.
15/12/2009, 10-12
Proprieta' delle geodetiche, le geodetiche sono parametrizzate rispetto a un multiplo della lunghezza d'arco. Le geodetiche rappresentano i moti di un punto vincolato a muoversi sulla superficie, non soggetto a forze attive. Curvatura geodetica di una curva p.r.l.a. su una superficie orientata, legame con la curvatura della curva e con la curvatura normale. Superfici topologiche, definizione ed esempi, sfere con g manici, piano proiettivo reale, bottiglia di Klein. Teorema di classificazione delle superfici topologiche compatte (solo enunciato).
17/12/2009, 9-11
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.
7/1/2010, 9-11
Triangolazioni topologiche di una regione regolare, caratteristica di Eulero-Poincare'. Integrale di una funzione continua su una regione regolare. Orientazione del bordo di una regione regolare su una superficie orientata; angoli esterni nei vertici. Teorema di Gauss-Bonnet (solo enunciato). Applicazioni alle superfici connesse e compatte.
8/1/2010, 12-14
Gruppo fondamentale di uno spazio topologico: dipendenza dal punto base. Omomorfismo tra gruppi fondamentali indotto da un'applicazione continua. Omeomorfismi ed equivalenze omotopiche inducono isomorfismi tra i gruppi fondamentali. Uno spazio topologico contraibile e' semplicemente connesso. Grado di un cammino chiuso sulla circonferenza.
11/1/2010, 14-15
Il grado induce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale della circonferenza e il gruppo dei numeri interi Z.
12/1/2010, 10-12
Retrazioni e retratti di deformazione. Il gruppo fondamentale di un prodotto di spazi topologici. Esempi ed esercizi su retrazioni ed equivalenze omotopiche.
13/1/2010, 11-13
Esercizi: tipo di omotopia di R^3 meno due rette. La pseudosfera di Beltrami. Esercizi su superfici regolari.
14/1/2010, 9-11
Esercizi di topologia e su curve e superfici in R^3. Due spazi topologici omotopicamente equivalenti hanno lo stesso numero di componenti connesse per archi.
15/1/2010, 12-14
Esercitazioni tenute da Elisa Tenni.