Laurea Magistrale in Matematica, a.a. 11/12, primo semestre, 48 ore, 6 crediti.
L'esame e' orale, ma fara' parte dell'esame lo svolgimento (facoltativo) di un compito scritto che verra' assegnato alla fine del corso, da consegnare entro una decina di giorni, la cui valutazione contribuira' al voto finale. A chi non avesse svolto il compito scritto, all'esame verra' richiesto di risolvere un (semplice) esercizio di calcolo di omologia.
Orario: lunedi' 14-16 aula 3, giovedi' 11-13 aula 1. Prima lezione: lunedi' 3/10.
Ci sara' una lezione di recupero venerdi' 20/1 ore 9-11 (l'ultima lezione del corso).
Esercizi per le vacanze di Natale
Compitino di fine corso
Testi consigliati:
Hatcher, Algebraic Topology (testo di riferimento per l'omologia)
Greenberg e Harper, Algebraic Topology - A First Course
Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica (per la parte su rivestimenti e gruppo fondamentale)
Fulton, Algebraic Topology- A First Course (per la parte su rivestimenti e gruppo fondamentale)
Lee, Introduction to Topological Manifolds
Registro delle lezioni
3/10/2011, 14-16
Presentazione del corso, motivazione. Esempi di risultati che otteremo con la topologia algebrica: invarianza della dimensione; le sfere non sono contraibili; il teorema della curva di Jordan. Categorie e funtori, definizioni ed esempi; il gruppo fondamentale come funtore. Richiami su azioni di gruppi su insiemi. Azioni di gruppi su spazi topologici, proprieta' ed esempi. Azioni libere e propriamente discontinue.
10/10/2011, 14-16
Rivestimenti di spazi topologici: definizione, esempi, prime proprieta'. Fibre e grado di un rivestimento. Rivestimenti isomorfi, automorfismi di un rivestimento. G-rivestimenti, esempi. Ogni rivestimento di grado 2 e' un G-rivestimento. Un rivestimento di grado 3 che non e' un G-rivestimento. Spazi localmente connessi per archi.
13/10/2011, 11-13
Sollevamenti, unicita' del sollevamento. Applicazioni agli automorfismi di un rivestimento. Il gruppo degli automorfismi di un G-rivestimento connesso e' il gruppo stesso. Un rivestimento connesso e localmente c.p.a. e' un G-rivestimento se e solo se l'azione degli automorfismi su una fibra e' transitiva. Richiami su omotopia, equivalenza omotopica e gruppo fondamentale.
17/10/2011, 14-16
Rivestimenti: sollevamenti di cammini e omotopie, teorema di monodromia. Iniettivita' dell'omomorfismo indotto tra i gruppi fondamentali. Al variare del punto base in una fibra, i sottogruppi immagine formano una classe di coniugio. Esercizi sui rivestimenti.
20/10/2011, 11-13
Il grado di un rivestimento Y->X, con Y c.p.a., e' pari all'indice dell'immagine del gruppo fondamentale di Y nel gruppo fondamentale di X. Azione di monodromia del gruppo fondamentale di X su una fibra del rivestimento. Criterio di esistenza del sollevamento in termini di gruppi fondamentali (dimostrazione parziale). I rivestimenti connessi di uno spazio topologico X connesso e localmente c.p.a. sono determinati, a meno di isomorfismo, dalla classe di coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale di X. Un rivestimento Y->X e' un G-rivestimento se e soltanto se l'immagine del gruppo fondamentale di Y nel gruppo fondamentale di X e' un sottogruppo normale. Rivestimenti della circonferenza.
24/10/2011, 14-16
Quando Y->X e' un G-rivestimento connesso e localmente c.p.a., G e' isomorfo al quoziente del gruppo fondamentale di X per l'immagine del gruppo fondamentale di Y. Il rivestimento universale. Il rivestimento universale e il gruppo fondamentale della circonferenza e degli spazi proiettivi reali. Le sfere di dimensione n>1 sono semplicemente connesse. La congettura di Poincare'. Altri esempi di rivestimenti universali: il toro, l'unione a un punto di una retta e una circonferenza, l'unione a un punto di due circonferenze.
27/10/2011, 11-13
Spazi topologici semilocalmente semplicemente connessi. Uno spazio topologico X connesso e localmente c.p.a. ammette rivestimento universale se e solo se e' semilocalmente semplicemente connesso (dimostrazione solo dell'implicazione facile). Inoltre, quando X e' semilocalmente semplicemente connesso, le classi di isomorfismo di rivestimenti connessi di X sono in biezione con le classi di coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale di X (dimostrazione solo accennata). Rivestimenti del toro. Il rivestimento universale e il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein.
3/11/2011, 11-13
Retratti, retratti di deformazione, retratti di deformazione forte. Se A e' un retratto di deformazione forte di X, il quoziente X/A e' contraibile. Un esempio di uno spazio topologico che non ammette rivestimento universale. Introduzione all'omologia. Complessi di catene e morfismi di complessi. Gruppi di omologia di un complesso di catene. Richiami sui simplessi.
10/11/2011, 11-13
Ogni sottoinsieme compatto e convesso di R^n, a interno non vuoto, e' omeomorfo ad un disco chiuso di R^n. Struttura di Delta-complesso su uno spazio topologico, definizione ed esempi. Complesso di catene associato ad un Delta-complesso.
14/11/2011, 14-16
Gruppo abeliano libero generato da un insieme arbitrario. Gruppi abeliani liberi, gruppi abeliani finitamente generati, sottogruppo di torsione, rango.
Gruppi di omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi: il toro, il piano proiettivo reale. Cenni su complessi simpliciali e spazi topologici triangolabili.
17/11/2011, 11-13
Simplessi singolari, catene singolari, omomorfismi di bordo. Gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico. Omomorfismi in omologia indotti da un'applicazione continua, funtorialita'. Omologia del punto. Se X e' connesso per archi, H_0(X) = Z. I gruppi di omologia di uno spazio topologico X sono somma diretta dei gruppi di omologia delle componenti connesse per archi di X. Relazione tra gruppo fondamentale e primo gruppo di omologia: prime proprieta'.
21/11/2011, 14-16
Esercizi. La bottiglia di Klein come Delta-complesso e la sua omologia simpliciale. Il rivestimento universale e il gruppo fondamentale del nastro di Moebius. Il rivestimento universale e il gruppo fondamentale dell'unione a un punto di due copie del piano proiettivo reale. Se X e' una varieta' topologica connessa, l'azione su X del gruppo degli omeomorfismi di X e' transitiva.
24/11/2011, 11-13
Commutatori e abelianizzato di un gruppo. Omomorfismo di Hurewicz. Quando X e' connesso per archi, il primo gruppo di omologia singolare di X e' isomorfo all'abelianizzato del gruppo fondamentale di X. Omotopia tra morfismi tra complessi di catene. Morfismi omotopi inducono gli stessi omomorfismi tra i gruppi di omologia. Invarianza omotopica dei gruppi di omologia singolare: enunciato, corollari, e strategia della dimostrazione.
28/11/2011, 14-16
Dimostrazione dell'invarianza omotopica con l'operatore prisma. Successioni esatte di gruppi abeliani, successioni esatte corte, successioni esatte corte di complessi di catene. Successione esatta lunga in omologia indotta da una successione esatta corta di complessi: enunciato e inizio della dimostrazione.
1/12/2011, 11-12.30
Successione esatta lunga in omologia: fine della dimostrazione, naturalita'. Isomorfismo tra i gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico X e i gruppi di omologia del sottocomplesso generato dai simplessi singolari a valori in un ricoprimento fissato di X (senza dimostrazione). Successione di Mayer-Vietoris: enunciato e inizio della dimostrazione.
5/12/2011, 14-16
Successione di Mayer-Vietoris: conclusione della dimostrazione. Gruppi di omologia delle sfere. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brouwer. Omologia ridotta e versione ridotta della successione di Mayer-Vietoris. Gruppi di omologia dell'unione a un punto di due varieta' topologiche. Esempio: l'unione a un punto di r circonferenze. Richiami sulle superfici topologiche compatte come quozienti di poligoni.
12/12/2011, 14-16
Gruppi di omologia delle superfici topologiche compatte. Classificazione delle varieta' topologiche di dimensione uno e delle superfici topologiche compatte (solo enunciati). Superfici topologiche semplicemente connesse e rivestimenti universali delle superfici topologiche compatte (solo enunciati). Grado di un'applicazione continua dalla sfera in se stessa, prime proprieta'.
15/12/2011, 11-13
Applicazioni del grado: la sfera ammette un campo vettoriale tangente mai nullo se e solo se ha dimensione dispari. In dimensione pari, l'unico gruppo non banale che agisce liberamente sulla sfera e' il gruppo di due elementi. Omologia relativa, successione esatta lunga associata. Esempi: cosa succede se X e' contraibile, se A e' contraibile, o se A e' un retratto di deformazione di X. Lemma del cinque.
22/12/2011, 11-13
Esercizi sull'omologia relativa. Omomorfismi in omologia relativa indotti da un'applicazione continua; caso di un'equivalenza omotopica. Teorema di escissione (dimostrazione parziale). Applicazioni: gruppi di omologia locale in un punto. Invarianza della dimensione. Esempi.
9/1/2012, 14-16
Correzione esercizi assegnati per le vacanze, omologia singolare degli spazi proiettivi complessi. Definizione di buona coppia (X,A). Quando (X,A) e' una buona coppia, l'omologia relativa di (X,A) e' isomorfa all'omologia ridotta dello spazio topologico quoziente X/A. Esempi.
12/1/2012, 11-13
Se X e' un Delta-complesso, gli omomorfismi naturali tra i gruppi di omologia simpliciale di X e i gruppi di omologia singolare di X sono isomorfismi. Applicazioni. Numeri di Betti di uno spazio topologico.
16/1/2012, 14-16
Caratteristica di Eulero-Poincare' di uno spazio topologico, relazione con le strutture di Delta-complesso e con le triangolazioni. Esempi: grafi, superfici topologiche compatte. Panoramica (senza dimostrazioni) sui gruppi di omologia delle varieta' topologiche. I gruppi di omologia di indice superiore alla dimensione n sono nulli. Cenni sull'orientabilita' di una varieta' topologica in termini dei gruppi di omologia locale, rivestimento doppio orientabile, relazione con l'n-esimo gruppo di omologia nel caso compatto. Relazioni tra i numeri di Betti di una varieta' topologica compatta e orientabile date dalla dualita' di Poincare'; se la dimensione e' dispari, la caratteristica e' nulla. Esempi.
19/1/2012, 11-13
Successioni esatte corte che si spezzano. Esercizi sull'omologia singolare.
20/1/2012, 9-11
Ricapitolazione del corso. Panoramica (fuori programma) sugli argomenti collegati ma non visti nel corso: omologia con coefficienti, coomologia, prodotto cup in coomologia. Coomologia di de Rham e isomorfismo di de Rham.